例道平面几何中的提拔线添加
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解证几何问题时，往往需要在图中另外添加一些线，往往称为提拔线.在图中一般画为虚线.常见的提拔线主要为直线、线段、射线、圆或圆弧等.以下选题来自《初中数学竞赛中的平面几何》为什么要添加提拔线呢？
解几何题是从题设条目启程，利用正确的逻辑推理，获取题断的成果.咱们遇到的几何题并非一齐要添线，有些则需要添线.为什么有的几何题一定要添线呢？咱们从以下两个具体的例题道起。图片
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解法分析：领先把柄题意画出相应的图形：图片
要评释AE=AG，只需要评释∠G=∠3，问题的要津在于如何由AB=CD等题设来证得∠G=∠3。由于AB，CD的位置散播，它们与∠G和∠3的揣度不易胜仗不雅察到。因此，必须设法添加提拔线使得相对散播的景色变得相春联接，使它们之间的揣度由遮拦变为明显。为此，需要构造与∠G和∠3非常的等角。伙同BD后，取BD的中点O，伙同OE、OF。通过构造中位线，将AB=CD荡漾到了OE=OF，这么将∠G荡漾到了∠1，∠3荡漾到了∠2，使通盘干系联的元素皆联接到了△OEF中。因此，只需要评释∠1=∠2，就不错贬指责题。
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解法分析：由已知中AB=AC=AD=a，可知B、C、D在以A为圆心，a为半径的圆上，因此需要作念出这个“隐圆”。这么就大开了念念路，使得隐含在题中的关系得以泄漏。图片
因此，延迟BA交圆A于点E，伙同DE。易证∠EDB=90°，由CD//AB，可得DE=BC=b，因此借助勾股定理不错推测BD的长度：图片
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通过上述两个例子不错标明，解证几何问题，即是由已知启程，用逻辑推理搭建已知和未知的桥梁。因此，关于具体问题具体分析，当条目和论断之间莫得明确的指向性时，咱们需要期许添加提拔线，创造荡漾的条目，从而将已知和未知中的干系元素有机地串联起来，从而有用地贬指责题。添加提拔线有以下三个作用：① 使复杂的问题荡漾为咱们所纯熟或早已掌持、贬责的问题，比如在“评释中位线定理”时，咱们不错添加提拔线，将问题荡漾“借助三角形中位线定理进行评释”；② 使图中隐含的关系领略出来(例2)；③ 使不胜仗揣度的元素发生揣度。
关于提拔线的添加不是所心所欲的，当遇到某些条目不可胜仗与论断发生揣度时，为发掘、创设这些条目揣度的路线而射线和决定在图中添加什么提拔线，若何添加提拔线。这才是正确相识添加提拔线的设施和精髓。添线的原则
原则一 化繁为简
添加提拔线有助于：① 把复杂的图形化为粗浅的图形；② 把复杂的图形分割成些许个粗浅的问题；③ 把不法规的图形荡漾为法规的图形。不管添线如何复杂，仔细分析，皆是为了把某方面的“繁”化为“简”，从而以“简”来独霸“繁”。
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解法分析：由于∠BCA=20°，∠EDC=80°，是以CE=CD。胜仗推测两个三角形的面积很难熬，要遇到求稀零角的锐角三角比。但提防到∠ABC=60°这个条目，把△ABC规复为一个边长为1得正三角形。为此，延迟BA到G，使BG=BC=1，如下图所示，伙同CF，则易知△ABC≌△FGC，且AC=CF，∠ACF=20°。
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于是△ACF∽△ECD，又CA=2CE，是以：图片
此题添线后从标明看使图形变得复杂了，但推行上则使用不法规图形荡漾为法规的正三角形，达到化繁为简的方向。同期也使咱们捕捉到了解答本题的路线。原则二 相春联接
添设提拔线频频将已知和未知中的揣度元素联接在并吞个三角形中或联接到两个干系(全等、双方对应非常、相通)的三角形中。唯有元素相春联接，才便于揣度与相比，从能充分应用揣度的几何定理。图片
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解法分析：要证BD+CE>DE。需要设法把三条线段联接到并吞个三角形中，为此，由M是BC的中点，DM⊥EM，使咱们理猜度不妨用轴对称“翻折”的设施。如图所示，在DM的延迟线上取D'，使MD'=MD。伙同ED'，CD'，易证ED'=DE，CD'=BD(△BDM≌△CD'M)。最终把BD，DE，CE三条线段荡漾为CD'，ED'，CE，联接到△CED'中，从而利用“双方之和大于第三边”得证。图片
添线的期间
添加提拔线，从举座上看，不错相识为把图形的一部分变换到另外的位置，以此来完竣条目和论断的揣度。这些变换好多，常用的是平移和旋转，它不调动线段的长度与角的大小。设施一 平移频频通过稀零点添平行线，或利用三角形中位线性质构造平行线，使图中的某些线段保持平行，或使某些角平移到新的位置。
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解法分析：本题同例1的解题计谋如出一辙。即通过线段的平移将∠1和∠2遗弃在一个三角形中。
如左图，通过“四次”平移，构造平行线四边形ABMF和平行四边形DFNC，继而构造全等△BME和△ENC，从而评释E为MN的中点，利用等腰三角形的三线合一评释∠3=∠4。利用MF//AB，CD//FN，得∠1=∠3，∠2=∠4，继而得证。
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如右图，借助三角形的中位线定理，通过伙同BD，构造AB和CD的一半，得等腰△GEF，从而得证。设施二 旋转
在具有等边和稀零角的图形中，将图形一部分绕定点旋转一稀零角，往往使散播的条目相春联接，炫耀出些许新的揣度。图片
解法分析：本题中要评释∠AMB=∠DMC，由于∠AMB和∠2互余，而∠1=∠2，同期AB=AC，因此期许构造与△ABM全等的△ACN，相配于将△ABM平移加旋转得△ACN。再评释△DMC和△DCN全等即可得证。
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相通的贬责旅途在2023上海长宁二模25题第(3)问中也有体现：图片
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解法分析：本题中要评释A、P、C三点共线，不错通过评释∠APB+∠BPC=180°进行评释。由于AP、BP、CP三条线段的位置相比散播，因此不错通过旋转△ABP(绕点B顺时针旋转90°)至△BCP'，借助勾股定理逆定理得∠PCP'=90°，从而把柄∠PCP'+∠PBP'=90°，得P、B、P'、C四点共圆，继而得∠BPC与∠BP'C互补，而∠BP'C=∠APB，继而得证。
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常见相通模子中的“手拉手模子”以及“半角模子”即是利用旋转获取相通三角形或全等三角形完竣线段的荡漾。
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——The End——
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